背景

最近学高数，了解了许多函数，但是有些比较抽象。所有借助python进行可视化。

y=sin(1/x)

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import math
x=list(np.arange(-40,40,0.1))#此处可调整自变量取值范围，以便选择合适的观察尺度
y=[]
for i in range(len(x)):
    y.append(math.sin(1/x[i]))
plt.plot(x,y)
plt.show()

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x趋向于0：y=sin(1/x)函数。实际函数值是在-1和1之间来回震荡，越靠近0频率越高，但是不会趋近于0，因为是一直在越来越快地振荡，永不停止。
x趋向于无穷，1/x趋向于0，sinx趋向于0，y趋向于0

$a_n=(-1{)}^n/n$

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

def deal(a,b):
    x1=list(np.arange(a,b,1))#此处可调整自变量取值范围，以便选择合适的观察尺度
    try:
        x1.remove(0)
    except:
        pass
    x1=list(map(float,x1))
    y=[]
    for i in range(len(x1)):
        y.append(((-1)**x1[i])/x1[i])
    plt.plot(x1,y,color='lightseagreen')

deal(-100,0)
deal(0,100)
plt.show()

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y

=

(

−

1

)

n

/

n

y=(-1)^{n}/n

y=(−1)n/n，随着n趋向于1，向1逼近。
随着n趋向于无穷，随着奇偶数，在正负波动中趋近于0

$y=[1/x]\ast x$

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

x=list(np.arange(-2,2,0.005))#此处可调整自变量取值范围，以便选择合适的观察尺度
y=[]
for i in range(len(x)):
    y.append(int(1/x[i])*x[i])
plt.plot(x,y)
plt.show()

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当x>=1时，y=0；
当x<1时，y受取整函数影响，不断从1开始递减。但是递减的幅度越来越小。换句话说不断向1逼近。

$y=[1/x^2]\ast sin(1/x)$

x->0,f(x)->在(-oo, oo)之间震荡
x->无穷,f(x)->0

y.append((1/(x1[i]**2))*(math.sin(1/x1[i])))

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$y=n+1/n^{0.5}$

一个趋向于无穷，一个趋向于0，但是两者都大于0，加起来趋向于无穷。

y.append(x1[i]+(1/(x1[i]**0.5)))

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$y=x\ast sin(1/x)$

趋向于无穷时，1/x趋向于0，f(x)趋向于0
趋向于0时，f(x)在(-oo, oo)之间震荡，无极限

y.append((1/(x1[i]))*(math.sin(1/x1[i])))

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基本极限函数

$y=sin(x)/x$

理解为，两者是同阶无穷小，递减速度相似，x->0,f(x)->1
分母不断变大，趋向于0；x->无穷,f(x)->0

#求极限
import sympy
from sympy import oo
x = sympy.symbols('x')
f=sympy.sin(x)/(x**2)
print(sympy.limit(f,x,oo))
print(sympy.limit(f,x,0))
#绘图
y.append((math.sin(x1[i]))/x1[i])

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$y=（1+x{）}^{1/x}$

x->0,f(x)->e
x->无穷,f(x)->1

$y=（1+1/x{）}^x$

x->0,f(x)->1
x->无穷,f(x)->e

$y=（n{）}^{1/n}$

n->0,1/n->无穷，f(n)->0
n->无穷,1/n->0，f(n)->1

n不能为负数，如果1/n为偶数就会变正数

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